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一亚博 APP文读懂矩阵的秩和的意义.

2018-10-08 20:30:03  by亚博国际

一亚博 APP文读懂矩阵的秩和的意义.

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作为一个工科的学生,我们长期以来会使用比如像是矩阵以及这些在线性代数上的知识,在这篇文章中,我想来聊一聊这些问题,即什么是面积,以及什么是面积的高纬度的推广.

1 什么是面积?

对于什么是面积,大家可能首先就会想到我们生活中常用的长*宽么?真的是这样么,其实在这里我们所谈论的面积,其实是欧几里得空间几何面积的基本的单位:平行四边形的面积.关于平行四边形的面积的定义,几何上所说的就是相邻两边边长乘以他们之间的夹角的正弦.

但是当我们面对到一些更一般的情形和更高维度的数理问题的时候,我们就有必要把这个面积的定义推广开来.首先我们应当要注意的是.面积是作为一个标量,他是来自于相邻的两个边的两个矢量相乘的结果,因此来时,我们需要把面积看作为一种映射的关系.

这里的V 可以看做一个适量,V *V 代表的是两个适量的有序对,那么f 自然而然就是所求的面积.

现在我们将来证明这个映射是一个线性的映射,请坐稳扶好:

现在我们举一个最简单的例子,现在我们假设第一个矢量是(1.0 ),第二个矢量是(0 ,1 ),也就是说两个矢量分别是X 轴和Y 轴上的单位为正的单位向量,那么由这两个矢量构成的四边形,这个四边形其实就是一个正方形,根据面积的定义,其实就是*宽=1 *1=1

因此我们可以得到:

现在假设把第一个矢量缩放a 倍,这个四边形的面积也会变为相对应的a 倍,这样的面积也将会变为原来的a 倍,把第二个矢量缩放为b 倍,这样的面积也会变为原来的b 倍,如果这个时候我们同时对两个向量缩放为ab 倍,这样的话面积也会变为原来的ab 倍,这说明,面积的映射对于其他的两个操作数的矢量的标量积是呈现出各自线性的,如下:

其实在实际的情况下,面积的映射对于其操作数(矢量)的矢量加法也是线性的.因为矢量加法的操作本身就是一个线性的,那么他的面积的映射其实也就是一个线性的映射.现在我想通过几个例子,来解释下映射加法线性的一些后果.

两个共线矢量所张成的平行四边形是一条线